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Álgebra A 62
2026
ESCAYOLA
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ÁLGEBRA A 62 UBA XXI
CÁTEDRA ESCAYOLA
4.
Decidir si existe una transformación lineal $T$ que satisfaga:
b) $T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2},\; T(1,-2,0)=(3,4),\; T(2,0,1)=(-1,1)\; \text{y}\; T(0,4,1)=(-7,-7)$.
b) $T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2},\; T(1,-2,0)=(3,4),\; T(2,0,1)=(-1,1)\; \text{y}\; T(0,4,1)=(-7,-7)$.
Respuesta
En este caso nos dicen que $T$ satisface que...
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$T(1,-2,0)=(3,4)$
$T(2,0,1)=(-1,1)$
$T(0,4,1)=(-7,-7)$
¿Será posible? Bueno, veamos...
En este caso fijate que $T$ no está definida en base de $\mathbb{R}^3$, esos tres vectores son LD y, por ejemplo, al $(0,4,1)$ nos lo podemos construir como una combinación lineal de los otros dos así:
$(0,4,1) = (2,0,1) - 2 \cdot (1,-2,0)$
Entonces, si $T$ fuera una transformación lineal, aplicando las propiedades que cumplen todas las transformaciones lineales, se debería cumplir que
$T(0,4,1) = T(2,0,1) - 2 \cdot T(1,-2,0)$
Reemplacemos con los datos del enunciado a ver si se cumple esta igualdad:
$(-7,-7) = (-1,1) - 2 \cdot (3,4)$
$(-7,-7) = (-7,-7)$
Perfectooooo! Por lo tanto, en este caso si existe una transformación lineal $T$ que verifica lo pedido por el enunciado
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